十一、不定方程（一）

            年级      班      姓名      得分    

一、填空题

    1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□=        .

    2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有     道题没答.

    3.x是自然数, ,字母a表示一个数字,x是         .

    4.不定方程 的整数解是         .

    5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是      .

6.如果在分数 的分子分母上分别加上自然数a、b,所得结果是 ,那么a+b的最小值等于        .

7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有        只脚.

8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有       人.

9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了

        页.

10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的 和小猴子的 必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有      个.

二、解答题

    11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?

12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?

13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.

14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.

———————————————答 案——————————————————————

1.  1998.

提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.

2.  1.

设张红做对x道题,做错y道题,依题意得:

            ①

所以  ≥ .

又    x+y≤20           ②

所以  x≤20-y≤20,

故    ≤x≤20.

又4|4 y,4|100,由①知4|7 x,又4与7互质,所以4| x,故 x=16或20.

当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.

因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x-y=1(道)题没做.

3.  750.

根据题意, ,整理得,

  .

因为x为自然数,37是质数,所以4a+1一定能被37整除,

推知a=9,因此 .

4.  没有整数解.

若方程有整数解,则 , ,因此 ,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.

5.  1975.

设他出生年份为 ,依题意,得:

整理得:

所以  

由0≤b≤9得 ≤  ≤ ,即 ≤a≤ .

故a=7,从而b=5,他出生于1975年.

6.  24.

依题意,有 ,

于是可得12(28+a)=7(43+b)

即       12a+35=7b        ①

显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a.

由①知, b随a增大而增大,所以a取最小值7时, b也取最小值,是17.

所以, a+b的最小值是7+17=24.

7.  14.

设有x只蜈蚣,y只三头龙,每只三头龙有n只脚,依题意得方程组:

①×40-②,得 ,即

      ③

由于x和y都是正整数,从①式得y≤8.又因为 ,

所以从③式得y=7, ,由此得n=14.

8.  32.

设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树棵数相等,得到

     13 x-7=10 y-5.

因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2,得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增大13,仍是上式的解.

为使10y-5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).

9.  84.

设小明第一天看了a页,第二天看了b页,则前五天看的页数依次为:

     a, b, a+b, a+2b, 2a+3b.

上面各个数的和是200,得到

     5a+7b=200.

因为5a与200都是5的倍数,所以b是5的倍数.因为b>a,所以上式只有两组解:

     b=20, a=12; b=25, a=5.

将这两组解分别代入2a+3b,得到第五天至少看了84页.

10.  15.

     以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x组,小猴子y组,则有

     ,

         .

易知其整数解为x=3, y=4,所以有大猴子5×3=15(只).

11.  设公鸡、母鸡、小鸡各买x, y, z只,由题意列方程组:

    3×①-②整理得    .

    又4|4 y,4|100,所以4|7 x,又(4,7)=1,所以4| x.

又 ≤ .

所以x=4,8或12.

    x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.

即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.

12.  因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x)度,乙用电(50- y)度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:

     8x+5y=33.

     容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.

13.  设哲洙在乙文具店买了x张卡片,花了 100分.由共花钱数可列方程

     整理得  

     因为x是小于50的54的约数,则x与y的关系如下表:

     因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y小于2000÷100=20,即y-5<15,所以x的可能取值是6,9,18,27.

14.  设第一堆有x块石头,第二堆有y块石头,并设z为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:

由①得   .

代入②整理得  .

所以   .

又x,z自然数,所以11|z+1,

当z=10时, x有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.