十一、不定方程（二）

            年级      班      姓名      得分    

1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且           ,△+☆=          .

2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球         个.

3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了       组.

4.不定方程 的自然数解是             .

5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是          .

6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为 .已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为        ,         ,         .

7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的 和全部咖啡(若干碗)的 .那么,全家有        口人.

8.某单位职工到郊外植树,其中 的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工       人.

9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有     块.原来长方体的体积是     立方分米.

    10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是        元.

二、解答题

11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?

12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?

13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?

14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?

———————————————答 案——————————————————————

1.  5.

依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.

2.  260.

设箱子里共有n个乒乓球,二级品占 .依题意,得

整理得      ①

易知  15-4 a>0,所以a≤3.

将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).

3.  11.

设共分为x组.由树苗总数可列方程

因为22=1×22=2×11, n是小于9的质数,对比上式得x=11(组).

4. 

显然z只能取1,2,3.

当z=1时, ,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2.

当z=2时, ,其自然数解为x=3, y=1.

当z=3时, ,显然无自然数解.

所以原方程的自然数解为:

5.  8371692.

设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a(a≠0).由题意有

①-②,化简得 .

当a=1时, x=837, y=692;

当a≥2时, y<0,不合题意.

所以电话号码为8371692.

6.  7,3,2.

由题意有 .解这个不定方程,得 .

7.  5.

设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:

整理得  .

易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.

8.  3.

设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子 人.这个条件说明3| x+ y.

由已知 

即     

由12|4(x+ y),12|72.

所以12| y,又 ≤ .

所以, y=12, x=3.即有女职工3人.

9.  32,80.

    剥去所有涂色的小块,得到上图.

由上面两上算式可以推算出 ,仅1面涂色彩正方体有:

          (块).

原来长方体的体积为

   (立方分米).

10.  17.82

     设支票上的元数与角、分数分别为x和y,则可列得方程

        ,

     其中x,y为整数且0≤x,y<100.

     化简方程得  

     由此推知2x<y且为x偶数,其可能取值为2,4,…,48.

     又    ,

           56≤ ≤

     所以  或 .

     所以  (舍去).

     故 ,此时 .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.

11.  设起初有x辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n人,依题意,得

           ,

     所以 

     又n, x为整数,所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.

     若x=2,则 与n≤32产生矛盾.

     因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x+1=529(名).

12.  设苹果、梨子、杏子分别买了 个,则

     消去z得     ①

     所以 

     由0<y<40得 

     即    

     又 5|5 y,5|380,(5,17)=1,由①得5| x.所以x=15或x=20.

     当x=15时, y=25, z=0,不合题意.

     因此x=20, y=8, z=12.

     因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.

13.  设获一、二、三等奖的人数分别为 ,根据题意有:

     2×②得     ③

     ③-①得         ④

     解④求得整数解为x=1, y=2.

     代入②可求得z=5.

     答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.

14.  设买A种物品a个, B种物品b个,找回100元的m张,10元的n张,则有:

     其中b>a,n<10.

     ①-②得             ③

     所以  ,故 ,

     由b>a,n<10知  m<n<10,因此, m-n=8,从而b-a=9.

     由此推知n=9, m=1, b=a+9.

     代入①式,解得a=3. B=12.

     答:购A物3个,B物12个.