要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.

2.  将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑    白     黑    白    ……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.

3.  图(a)行,走法如图所示.

                        图(a)

图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑    白     黑    白    ……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.

4.  不能.原因是每一个2´1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.

但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.

5.  中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有3´3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.

将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.

6.  设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:

考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.

下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC的三边同为红色.

(1)若三角形DEF也是红色三角形,则存在两个同色三角形.

(2)若三角形DEF中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA、DB、DC三

条线段，其中必有两条同色.

②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色(图2).此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB为红色三角形.

综上所述,一定有两个同色三角形.

7.  甲虫不能走遍所有的立方体.

我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.

8.  将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.

由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.

9.  不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.

10.  与B点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.

11.  不能.因为A、B两点异色,从B到A所跳的步数是一个奇数.

12.  “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A、B两点异色,故从A到B“车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.

13.  如图对8´8的棋盘染色,则每一个4´1的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个2´2的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个2´2的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.

    14.  如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.

              表(1)

    本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.